全等模型之三垂直、三等角模型

三垂直、三等角模型

定義：三個(gè)等角的頂點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上構成的圖形，這個(gè)角可以是直角，也可以是銳角或鈍角，一般是以等腰三角形或者等邊三角形為背景。這個(gè)模型貫穿初中幾何的始終，初三講《相似三角形》時(shí)這也是一個(gè)非常重要的知識點(diǎn)

方法提煉

1 若題目中有一線(xiàn)三(直角)等角，可以直接證明相似或全等實(shí)現邊與角的轉化;

2 若題目中沒(méi)有給出一線(xiàn)三(直角)等角，可以根據需要來(lái)構造

基本模型：(1)一線(xiàn)三垂直

【基本圖形】

全等模型之半角模型

定義：夾半角，顧名思義，是一個(gè)大角夾著(zhù)一個(gè)大小只有其一半的角，如下圖所示。

這類(lèi)題目有其固定的做法，當a取不同的值的時(shí)候，也會(huì )有類(lèi)似的結論

夾半角的常見(jiàn)分類(lèi)：

(1)90 度夾 45 度

(2)120 度夾 60 度

(3)2α夾α

題型一 90 度夾 45 度

【例 1】 如圖，正方形ABCD 中，E在BC上，F在CD上，且∠EAF=45°，求證：(1)BE+DF=EF

(2)∠AEB=∠AEF

(2)在例 1 的條件下，若E在CB延長(cháng)線(xiàn)上，F在DC延長(cháng)線(xiàn)上，其余條件不變，證明：

(1)DF-BE=EF

(2)∠AEB+∠AEF=180°

中點(diǎn)模型

模型1.倍長(cháng)中線(xiàn)或類(lèi)中線(xiàn)(與中點(diǎn)有關(guān)的線(xiàn)段)構造全等三角形

如圖①，AD是△ABC的中線(xiàn)，延長(cháng)AD至點(diǎn)E使DE=AD，易證：△ADC≌EDB(SAS)。

如圖②，D是BC中點(diǎn)，延長(cháng)FD至點(diǎn)E使DE=FD，易證：△FDB≌△EDC(SAS)。

模型分析：

當遇見(jiàn)中線(xiàn)或者中點(diǎn)的時(shí)候，可以嘗試倍長(cháng)中線(xiàn)或倍長(cháng)類(lèi)中線(xiàn)，構造全等三角形，目的是對已知條件中的線(xiàn)段進(jìn)行轉移。

例1. 如圖，已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線(xiàn)，E是AD上一點(diǎn)，連接BE并延長(cháng)交AC于點(diǎn)F，AF=EF。求證：AC=BE。

模型2.已知等腰三角形底邊中點(diǎn)，可以考慮與頂點(diǎn)連接用“三線(xiàn)合一”

模型分析：

等腰三角形有底邊中點(diǎn)時(shí)，常作底邊的中線(xiàn)，利用等腰三角形“三線(xiàn)合一”的性質(zhì)得到角相等或邊相等。為解題創(chuàng )造更多的條件，當看到等腰三角形的時(shí)候，就應想到“邊等、角等、三線(xiàn)合一”。

例.如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，M為BC的中點(diǎn)，MN⊥AC于點(diǎn)N，求MN的長(cháng)度。

模型3.已知三角形一邊的中點(diǎn)，可以考慮中位線(xiàn)定理

模型分析：

在三角形中，如果有中點(diǎn)，可構造三角形的中位線(xiàn)，利用三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)定理：DE∥BC，且DE=1/2BC來(lái)解題。中位線(xiàn)定理中既有線(xiàn)段之間的位置關(guān)系又有數量關(guān)系，該模型可以解決角相等，線(xiàn)段之間的倍半、相等及平行問(wèn)題。

例. 在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接EF并延長(cháng)，分別與BA、CD的延長(cháng)線(xiàn)交于點(diǎn)M、N。求證：∠BME=∠CNE。

模型4.已知直角三角形斜邊中點(diǎn)，可以考慮構造斜邊中線(xiàn)

模型分析：

在直角三角形中，當遇見(jiàn)斜邊中點(diǎn)時(shí)，經(jīng)常會(huì )作斜邊上的中線(xiàn)，利用直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半，即CD=1/2AB，來(lái)證明線(xiàn)段間的數量關(guān)系，而且可以得到兩個(gè)等腰三角形：△ACD和△BCD，該模型經(jīng)常會(huì )與中位線(xiàn)定理一起綜合應用。

例. 如圖，在△ABC中，BE、CF分別為AC、AB上的高，D為BC的中點(diǎn)，DM⊥EF于點(diǎn)M。求證：FM=EM。

手拉手模型

例1、在直線(xiàn)ABC的同一側作兩個(gè)等邊三角形△ABD和△BCE，連接AE與CD，證明：

(1) △ABE≌△DBC

(2) AE=DC

(3) AE與DC的夾角為60。

(4) △AGB≌△DFB

(5) △EGB≌△CFB

(6) BH平分∠AHC

(7) GF∥AC

變式練習1、如果兩個(gè)等邊三角形△ABD和△BCE，連接AE與CD，證明：

(1) △ABE≌△DBC

(2) AE=DC

(3) AE與DC的夾角為60。

(4) AE與DC的交點(diǎn)設為H,BH平分∠AHC

奔馳模型

截長(cháng)補短

截長(cháng)補短法構造全等三角形

截長(cháng)補短法，是初中數學(xué)幾何題中一種輔助線(xiàn)的添加方法，也是把幾何題化難為易的一種思想.所謂“截長(cháng)”，就是將三者中最長(cháng)的那條線(xiàn)段一分為二，使其中的一條線(xiàn)段等于已知的兩條較短線(xiàn)段中的一條，然后證明其中的另一段與已知的另一條線(xiàn)段相等;所謂“補短”，就是將一個(gè)已知的較短的線(xiàn)段延長(cháng)至與另一個(gè)已知的較短的長(cháng)度相等，然后求出延長(cháng)后的線(xiàn)段與最長(cháng)的已知線(xiàn)段的關(guān)系.有的是采取截長(cháng)補短后，使之構成某種特定的三角形進(jìn)行求解.

截長(cháng)補短法作輔助線(xiàn)，適合于證明線(xiàn)段的和、差、倍、分等類(lèi)的題目.

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