例1 分解因式

分析：若把兩個(gè)二次三項式
與
相乘，則將得到一個(gè)四次多項式，這時(shí)再分解因式就十分困難。但若把
或
）視為一個(gè)整體，即把
#p#分頁(yè)標題#e#
看成一個(gè)新變元t，原式就變形為關(guān)于t的二次多項式，問(wèn)題就容易解決了。

解：設
，則

原式

再將
代入上式

原式

說(shuō)明：由上例可以看出，對某些多項式的因式分解，如果前一項的兩個(gè)因式中只是常數項不同，則可將它們中的相同部分看成一個(gè)整體，用換元法可以降次，簡(jiǎn)化解題過(guò)程。#p#分頁(yè)標題#e#

例2 解方程

解：設
，則原方程可變?yōu)?!--[if !vml]-->

解得
，

當
時(shí)，解得
；當
#p#分頁(yè)標題#e#
時(shí)無(wú)解

經(jīng)檢驗，
是原方程的解。

說(shuō)明：本題是把
看成一個(gè)整體，恰當換元，才能化繁就簡(jiǎn)。

例3 計算

解：設
，則

原式
#p#分頁(yè)標題#e#

說(shuō)明：這是一類(lèi)規律探索型問(wèn)題，看似復雜嚇人，若掌握了整體換元思想，并不難解。

例4 已知
和
成正比例其中m、n是常數）

1）求證：y是x的一次函數；

2）如果
時(shí)，
；
時(shí)，
#p#分頁(yè)標題#e# ，求這個(gè)函數的解析式。

解：1）因
與
成正比例，故可設

整理可得

因
，
、
為常數，所以y是x的一次函數。#p#分頁(yè)標題#e#

2）由題意可得方程組

解得
，
.

故所求的函數解析式為
。

說(shuō)明：在解方程組時(shí)，單獨解出k、n、m是不可能的，也是不必要的。故將
看成一個(gè)整體求解，從而求得函數解析式。

例5 有甲、乙、丙三種貨物，若購甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若購甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元�，F在計劃購甲、乙、丙各1件，共需多少元？

分析：要求的未知數是三個(gè)，而題設條件中只有兩個(gè)等量關(guān)系，企圖把甲、乙、丙各1件的錢(qián)數一一求出來(lái)是不可能的，若把甲、乙、丙各1件的錢(qián)數看成一個(gè)整體，問(wèn)題就可能解決。

解：設購甲、乙、丙各1件分別需x元、y元、z元。

依題意，得
#p#分頁(yè)標題#e#
，即

解關(guān)于
，
的二元一次方程組，可得
元）

答：購甲、乙、丙各1件共需1.05元。

說(shuō)明：由于所感興趣的不是x、y、z的值，而是
這個(gè)整體的值，所以目標明確，直奔主題，收到了事半功倍的效果。

練習：

1. 分解因式
。#p#分頁(yè)標題#e#

2. 解方程
。

3. 設y與x的函數關(guān)系式為
k、a、b為常數），且
時(shí)，y=19，x=3時(shí)，y=20。求此函數的解析式。

4. 已知
，求代數式
的值。

5. 一個(gè)四位數，其首位上的數字為1，若把首位移作末位，則新的四位數是原數的4倍還多1995，試求原來(lái)的四位數。

6. 甲、乙兩人相距
100km
，兩人同時(shí)出發(fā)，相向而行，甲每小時(shí)走
6km
，乙每小時(shí)走
4km
；甲帶的一只狗，同甲一起出發(fā)，每小時(shí)走
10km#p#分頁(yè)標題#e#
，碰到乙時(shí)它往甲方向走，碰到甲時(shí)它又往乙方向走，如此連續往返，到甲、乙兩人相遇時(shí)，這只狗一共走了多少千米？

7. 有大小兩種貨車(chē)，2輛大車(chē)和3輛小車(chē)一次可運貨15.5t，5輛大車(chē)和6輛小車(chē)一次可運貨35t，求3輛大車(chē)和5輛小車(chē)一次可運貨多少?lài)崱?/p>

參考答案及提示：

1.
2.
，
。

3.
4. 5

5. 設原來(lái)的四位數去掉首位的后三位數為x，則原來(lái)的四位數可表示為
，新四位數可表示為
，由題意得#p#分頁(yè)標題#e#
，解得x=999，故原來(lái)的四位數為1999。

6. 由出發(fā)時(shí)起，直到甲、乙相遇為止，小狗以每小時(shí)
10km
的速度跑了
，因此小狗一共走了
的路。

7. 設1輛大車(chē)與1輛小車(chē)一次可以各運xt、yt，則有

，得
，即有
#p#分頁(yè)標題#e#

即3輛大車(chē)和5輛小車(chē)一次可運貨24.5t。 -

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