例1. 如圖1，將邊長(cháng)為1的正方形ABCD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè )较蛐�轉30度，至正方形 ，求旋轉前后兩個(gè)正方形重疊部分的面積？

圖1

解：由正方形ABCD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè )较蛐�轉30度，至正方形

設 ，則 ，根據勾股定理，

變題：如圖2，將邊長(cháng)為1的正方形ABCD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè )较蛐�轉60度，至正方形 ，求旋轉前后兩個(gè)正方形重疊部分的面積？

圖2

分析：將原題中的30°變成60°后，原來(lái)的解題方法已經(jīng)不能再用了，那就要另外想辦法了。

仍然要連結AE， ，只要求出 ，問(wèn)題就解決了。所以，本題的關(guān)鍵就是求出 的長(cháng)。

解：連結AE，作EF∥AD

∵正方形ABCD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè )较蛐�轉60度，至正方形

∵EF∥AD

∴∠1＝∠4

∴∠1＝∠2

∴EF＝AF

設 ，則

根據勾股定理， #p#分頁(yè)標題#e#

即

例2. 如圖3，正方形ABCD的面積為S，對角線(xiàn)相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O是正方形 的一個(gè)頂點(diǎn)，如果兩個(gè)正方形的邊長(cháng)相等，那么正方形 繞點(diǎn)O轉動(dòng)時(shí)，

圖3

1）求兩個(gè)正方形重疊部分的面積。

2）如果正方形 的邊長(cháng)大于正方形ABCD的邊長(cháng)，則重疊部分的面積等于多少？與上述結論是否一致？

3）將正方形 改為 ，只要滿(mǎn)足什么條件，重疊部分的面積不變？

4）如果把正方形ABCD改為等邊△ABC，O為等邊△ABC的中心，以O為頂點(diǎn)的扇形 繞點(diǎn)O無(wú)論怎樣轉動(dòng)，要使它與等邊△ABC的重疊部分的面積總保持不變，問(wèn)扇形 應滿(mǎn)足什么條件？并且說(shuō)明你的理由。

1）解：∵ABCD為正方形

∴OA＝OB，AC⊥BD

∠1＝∠2＝45°

∠3＋∠BOE＝90°

∵ 是正方形

∴∠BOE＋∠4＝90°

∴∠3＝∠4

∴△AOE≌△BOF

∴兩個(gè)正方形重疊部分的面積

2）如果正方形 的邊長(cháng)大于正方形ABCD的邊長(cháng)，則重疊部分的面積仍然等于 與上述結論一致。因為求解的過(guò)程沒(méi)有任何改變。#p#分頁(yè)標題#e#

3）將正方形 變?yōu)? ，只要滿(mǎn)足 ，并且 與正方形ABCD沒(méi)有交點(diǎn)，那么求重疊部分的面積的方法與上面的方法一樣，所以重疊部分的面積不改變。

4）如果把正方形ABCD改為等邊△ABC，O為等邊△ABC的中心，以O為頂點(diǎn)的扇形 繞點(diǎn)O無(wú)論怎樣轉動(dòng)，要使它與等邊△ABC的重疊部分的面積總保持不變，扇形 應滿(mǎn)足的條件是：

，且

類(lèi)似上面的方法，容易證明△BOE≌△COF如圖4）。

所以重疊部分的面積 ，而且保持不變。

圖4

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