等腰三角形判定的綜合應用

　　等腰三角形判定的綜合應用

　　目標

　　重點(diǎn)

　　難點(diǎn)

　　1、知識與技能目標:進(jìn)一步熟悉等腰三角形的判定定理及其應用。能綜合應用等腰三角形的性質(zhì)與判定定理解決問(wèn)題。歸納出遇有角平分線(xiàn)和平行線(xiàn)這一類(lèi)題的解題規律。培養學(xué)生多題歸一,善于思考本質(zhì)的能力。

　　2、過(guò)程與方法目標:通過(guò)學(xué)生的分析問(wèn)題,引導學(xué)生歸納出遇有角平分線(xiàn)和平行線(xiàn)這一類(lèi)題的思考方向。使學(xué)生在游泳中學(xué)會(huì )游泳,在解題中學(xué)會(huì )解題。

　　3、情感與態(tài)度目標:學(xué)生通過(guò)積極參與分析,使學(xué)生體驗到學(xué)習知識的樂(lè )趣,思考的魅力。

　　對一類(lèi)數學(xué)問(wèn)題的解題方法歸納,等腰三角形的判定的應用。

　　引導學(xué)生形成以后遇到這類(lèi)問(wèn)題善于歸納的意識。

　　內容

　　方法

　　(人教新課標版)§14.3等腰三角形之五(等腰三角形判定的綜合應用)

　　講練結合

　　教學(xué)過(guò)程

　　復習提問(wèn):

　　師:等腰三角形的判定定理有哪些?

　�、儆袃蛇呄嗟鹊娜�角形叫做等腰三角形。(其定義是重要的判定)

　�、谟袃蓚�(gè)角相等的三角形是等腰三角形。

　�、垡贿吷系闹芯�(xiàn)、這邊上的高線(xiàn)與這邊所對的角的角平分線(xiàn)中任意兩條線(xiàn)互相重合的三角形是等腰三角形。(三線(xiàn)合一的逆定理,當中包含三個(gè)定理)

　�、苋齻�(gè)角相等的三角形是等邊三角形。

　　新課過(guò)程

　　引例1

　　已知:如圖,AD∥BC,BD平分∠ABC。

　　求證:AB=AD

　　分析:請大家思考。

　　大部分學(xué)生能做出來(lái)。

　　(等大部分學(xué)生能思考出來(lái)時(shí),抽成績(jì)差學(xué)生的說(shuō)出解題過(guò)程,面向全體學(xué)生的體現之一)

　　師:要證明AB=AD,轉化先證明∠ABD=∠ADB即可。我們要證明的兩條線(xiàn)段若在兩個(gè)三角形中,則思考的一個(gè)方向是去證明三角形全等。若這兩條線(xiàn)段是在同一個(gè)三角形中,則一個(gè)思考方向是證明它是等腰三角形。

　　生:證明:∵BD平分∠ABC

　　∴∠ABD=∠DBC

　　又∵AD∥BC

　　∴∠ADB=∠DBC

　　∴∠ABD=∠ADB

　　∴AB=AD(等角對等邊)

　　引例2

　　已知:如圖,∠CAE是ΔABC的外角,∠EAD=∠DAC,AD∥BC。求證:AB=AC。

　　(留時(shí)間給學(xué)生觀(guān)察思考)

　　(班上大部分學(xué)生能做出來(lái),處理如上題)

　　生:∵AD平分∠EAC

　　∴∠EAD=∠DAC

　　又∵AD∥BC

　　∴∠EAD=∠B

　　∠DAC=∠C

　　∴∠B=∠C(等角對等邊)

　　分析:問(wèn):這兩個(gè)題有什么共同之處?

　　生1:都出現了平行線(xiàn),都出現了角平分線(xiàn)。

　　生2:都得到了一個(gè)等腰三角形。

　　生3:都利用了"等邊對等角"。

　　生4:其證明的方法一樣。

　　……

　　師:剛才大家七嘴八舌說(shuō)了很多,說(shuō)得很好。

　　(至此課堂很活躍)

　　剛才我聽(tīng)到有的同學(xué)說(shuō)很簡(jiǎn)單,我也這樣認為這兩個(gè)引例并不難,但難題來(lái)至于簡(jiǎn)單的組合,奧秘隱藏于簡(jiǎn)單之中,還要仔細分析,這兩題能夠給我們帶來(lái)怎樣的收獲。

　�、傩☆}:出現:

　�、谛☆}:出現:

　　問(wèn):這兩個(gè)題有什么不同之處?

　　生:前者的平行線(xiàn)是平行于這個(gè)角的一邊,后者的平行線(xiàn)是平行于這個(gè)角的角平分線(xiàn)本身。

　　師:這兩個(gè)題的結論有什么相同之處?

　　生:在這兩種情況下,都能得到一個(gè)必然的等腰三角形。

　　問(wèn):誰(shuí)來(lái)總結一下這個(gè)規律?

　　生:當題目中出現有角平分線(xiàn)和平行線(xiàn)時(shí),題目中要出現一個(gè)等腰三角形。以利于做題的推進(jìn)。

　　(師插話(huà):注意了,平行線(xiàn)是平行于這個(gè)角的角平分線(xiàn)本身,或者平行于這個(gè)角的一邊)。

　　(學(xué)生記住一些小結論,做題時(shí)有利于迅速找到做題的方向,提高學(xué)生的數學(xué)素養)

　　生:這是個(gè)雙胞胎圖形。

　　師:說(shuō)得很好的,在這里,第一個(gè)圖形,其背上是一個(gè)等腰三角形,第二個(gè)圖形,翻個(gè)個(gè)兒,其背上也是一個(gè)等腰三角形,因此我戲稱(chēng)為"背孩子的圖形"。隨便怎么記都行。

　　(學(xué)生大笑,笑聲中學(xué)生記住了這個(gè)圖形、這個(gè)結論,課堂氣氛也比較輕松、活躍)

　　師:今后我們在解題時(shí),就要有意識的向這個(gè)方向去想,要充分的利用好我們總結的規律,要在游泳中學(xué)會(huì )游泳,在戰爭中學(xué)會(huì )戰爭,(這是毛主席說(shuō)的),在解題中學(xué)會(huì )解題,我們的思考能力才能越來(lái)越強大。能運用規律來(lái)解題,某種情況上說(shuō)我們已經(jīng)掌握了這個(gè)規律。

　　例1

　　已知:如圖,∠ABC、∠ACB的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)F,

　�、龠^(guò)F作DE∥BC,交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E。求證:BD+EC=DE

　�、谶^(guò)F作FM∥AB交BC于點(diǎn)M,過(guò)F作FN∥AC交BC于點(diǎn)N。

　　求證:ΔFMN的周長(cháng)=BC。

　　分析:學(xué)生讀題,思考如何去做。

　　兩、三分鐘后,大部分學(xué)生已經(jīng)能做出。

　　問(wèn):誰(shuí)來(lái)給大家分析一下?

　　生5:由"背孩子圖形"立即可得ΔBDF和ΔFEC是等腰三角形,由BD=DF,EC=EF。問(wèn)題得證。

　　師:請每個(gè)同學(xué)寫(xiě)出過(guò)程。

　　證明:∵BF平分∠DBF,

　　∴∠DBF=∠FBC

　　∵DE∥BC

　　∴∠DFB=∠FBC

　　∴∠DBF=∠DFB

　　∴DB=DF

　　同理:EF=EC

　　∴DB+EC=DF+FE

　　即:DB+EC=DE

　　問(wèn):從剛才同學(xué)們完成①問(wèn),能夠感受到規律的威力,第二問(wèn)如何做?

　　生6:這個(gè)圖形中,也有兩個(gè)"背孩子圖形",可得FM=BM,FN=NC,問(wèn)題得到解決。

　　師:今后,我們在思考問(wèn)題時(shí),按我們的規律進(jìn)行思考,將大大推進(jìn)我們對問(wèn)題的思考。

　　例2

　　已知:CE、CF分別平分∠ACB和它的外角,EF∥BC,EF交AC于點(diǎn)D,E是CE與AB的交點(diǎn)。

　　求證:DE=DF

　　分析:給大家5分鐘的時(shí)間,認真思考。5分鐘后請同學(xué)回答。(5分鐘,全班已有超過(guò)一半的學(xué)生能做)

　　生7:這里面仍然包含有兩個(gè)"背孩子圖形"。

　　由出現了角平分線(xiàn),和平行線(xiàn),我們很容易得到ΔDEC和ΔDFC是等腰三角形,可得:ED=DC,DF=DC。

　　師:很好,請按規律思考。

　　(至此班上大部分學(xué)生已經(jīng)掌握這題的思考規律,同時(shí),理解了我們是如何運用規律的。這些規律不需要去背,學(xué)生已經(jīng)留在了腦海中。)

　　解:∵FE∥BC

　　∴∠DEC=∠ECB

　　又∵CE平分∠ACB

　　∴∠ECB=∠ECD

　　∴∠DEC=∠DCE

　　∴DC=DE

　　同理:DC=DF

　　∴DE=DF

　　例3

　　已知:如圖,點(diǎn)D是∠ABC的角平分線(xiàn)與∠ACB的外角平分線(xiàn)的交點(diǎn),DE∥BC,DE交AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F。

　　求證:EF=BE-CF。

　　師:這題留給大家5分鐘的時(shí)間思考。

　　生8:題目中出現有角平分線(xiàn)和平行線(xiàn),思考找出題中的兩個(gè)等腰三角形,能得到ΔEDB和ΔDFC是等腰三角形,有BE=ED,DF=CF,問(wèn)題得到證明。

　　師:請大家寫(xiě)出證明過(guò)程。

　　證明:∵BD平分∠EBC,

　　∴∠DBE=∠DBC

　　∵DE∥BC

　　∴∠EDB=∠DBC

　　∴∠DBE=∠EDB

　　∴DE=BE

　　同理:CF=DF

　　∴EF=DE-DF=BE-CF

　　例4

　　已知:如圖,B、D分別在A(yíng)C、CE上,AD是∠CAD的平分線(xiàn),BD∥AE,AB=BC。求證:AC=AE。

　　分析:問(wèn):能自行解決嗎?

　　生9:題中出現有角平分線(xiàn)和平行線(xiàn),先找出等腰三角形ΔABD,

　　有AB=BD,又∵AB=BC,

　　∴有BC=BD,

　　∴∠C=∠CDB

　　又∵BD∥AE

　　∴∠CDB=∠E

　　∴∠C=∠E

　　∴AC=AE。

　　師:今后我們做題時(shí),要善于多題歸一,我們今天見(jiàn)識了善于發(fā)現不同題目中的規律,會(huì )給我們帶來(lái)極大的幫助,增長(cháng)我們的才能。

　　每課一招:每節課都把自己作導演,讓學(xué)生做演員,讓他們盡情的展示自己吧!把自己的光輝悄悄的隱沒(méi)于學(xué)生的才能之中吧!(這樣他們會(huì )越來(lái)越聰明,越來(lái)越喜歡學(xué)
 

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