開(kāi)放型習題是相對有明確條件和明確結論的封閉式習題而言的，是指題目的條件不完備或結論不確定的習 題。
練習是數學(xué)教學(xué)重要的組成部分，恰到好處的習題，不僅能鞏固知識，形成技能，而且能啟發(fā)思維，培養 能力。在教學(xué)過(guò)程中，除注意增加變式題、綜合題外，適當設計一些開(kāi)放型習題，可以培養學(xué)生思維的深刻性 和靈活性，克服學(xué)生思維的呆板性。
一、運用不定型開(kāi)放題，培養學(xué)生思維的深刻性
不定型開(kāi)放題，所給條件包含著(zhù)答案不唯一的因素，在解題的過(guò)程中，必須利用已有的知識，結合有關(guān)條 件，從不同的角度對問(wèn)題作全面分析，正確判斷，得出結論，從而培養學(xué)生思維的深刻性。
如：學(xué)習“真分數和假分數”時(shí)，在學(xué)生已基本掌握了真假分數的意義后，問(wèn)學(xué)生：b／a是真分數，還是 假分數？因a、b都不是確定的數，所以無(wú)法確定b／a是真分數還是假分數。在學(xué)生經(jīng)過(guò)緊張的思考和激烈的爭 論后得出這樣的結論：當b＜a時(shí)，b／a為真分數；當b≥a時(shí)， b／a是假分數。這時(shí)教師進(jìn)一步問(wèn)：a、b可以是 任意數嗎？ 這樣不僅使學(xué)生對真假分數的意義有了更深刻的理解，而且使學(xué)生的邏輯思維能力得到了提高。
又如，學(xué)習分數時(shí)，學(xué)生對“分率”和“用分數表示的具體數量”往往混淆不清，以致解題時(shí)在該知識點(diǎn) 上出現錯誤，教師雖反復指出它們的區別，卻難以收到理想的效果。在學(xué)習分數應用題后，讓學(xué)生做這樣一道 習題：“有兩根同樣長(cháng)的繩子，第一根截去9／10，第二根截去9／10米，哪一根繩子剩下的部分長(cháng)？”此題出 示后，有的學(xué)生說(shuō)：“一樣長(cháng)�！庇械膶W(xué)生說(shuō)：“不一定�！蔽易寣W(xué)生討論哪種說(shuō)法對，為什么？學(xué)生紛紛發(fā) 表意見(jiàn)，經(jīng)過(guò)討論，統一認識：“因為兩根繩子的長(cháng)度沒(méi)有確定，第一根截去的長(cháng)度就無(wú)法確定，所以哪一根 繩子剩下的部分長(cháng)也就無(wú)法確定，必須知道繩子原來(lái)的長(cháng)度，才能確定哪根繩子剩下的部分長(cháng)�！边@時(shí)再讓學(xué) 生討論：兩根繩子剩下部分的長(cháng)度有幾種情況？經(jīng)過(guò)充分的討論，最后得出如下結論：①當繩子的長(cháng)度是1米時(shí) ， 第一根的9／10等于9／10米，所以?xún)筛K子剩下的部分一樣長(cháng)；②當繩子的長(cháng)度大于1米時(shí)，第一根繩子的 9／10大于9／10米，所以第二根繩子剩下的長(cháng)；③當繩子的長(cháng)度小于1米時(shí)，第一根繩子的9／10小于9／10 米 ，由于繩子的長(cháng)度小于9／10米時(shí)，就無(wú)法從第二根繩子上截去9／10米，所以當繩子的長(cháng)度小于1米而大于9／ 10米時(shí)，第一根繩子剩下的部分長(cháng)。
這樣的練習，加深了學(xué)生對“分率”和“用分數表示的具體數量”的區別的認識，鞏固了分數應用題的解 題方法，培養了學(xué)生思維的深刻性，提高了全面分析、解決問(wèn)題的能力。
二、運用多向型開(kāi)放題，培養學(xué)生思維的廣闊性
多向型開(kāi)放題，對同一個(gè)問(wèn)題可以有多種思考方向，使學(xué)生產(chǎn)生縱橫聯(lián)想，啟發(fā)學(xué)生一題多解、一題多變 、一題多思，訓練學(xué)生的發(fā)散思維，培養學(xué)生思維的廣闊性和靈活性。
如：甲乙兩隊合修一條長(cháng)1500米的公路，20天完成，完工時(shí)甲隊比乙隊多修100米，乙隊每天修35米，甲隊 每天修多少米？
這道題從不同的角度思考，得出了不同的解法：
1、先求出乙隊20天修的，根據全長(cháng)和乙隊20 天修的可以求出甲隊20天修的，然后求甲隊每天修的。
算式是（1500－35×20）÷20
2、先求出乙隊20天修的，根據乙隊20天修的和甲隊比乙隊多修100米可以求出甲隊20天修的，然后求甲隊 每天修的。
算式是：（35×20＋100）÷20
3、可以先求出兩隊平均每天共修多少米， 再求甲隊每天修多少米。
算式是：1500÷20－35
4、可以先求出甲隊每天比乙隊多修多少米， 再求甲隊每天修多少米。
算式是：100÷20＋35
5、假設乙隊和甲隊修的同樣多，那么兩隊20天共修（1500＋100）米，然后求兩隊每天修的，再求甲隊每 天修的。
算式是：（1500＋100）÷20÷2
6、假設乙隊和甲隊修的同樣多，那么兩隊20天共修（1500＋100）米，然后求甲隊20天修的，再求甲隊每 天修的。
算式是：（1500＋100）÷2÷20
7、假設乙隊和甲隊修的同樣多，那么兩隊20天共修（1500＋100）米，也就是甲隊（20×2）天修的，由此 可以求出甲隊每天修的。
算式是：（1500＋100）÷（20×2）
然后引導學(xué)生比較哪種方法最簡(jiǎn)便，哪種思路最簡(jiǎn)捷。
這類(lèi)題，可以給學(xué)生最大的思維空間，使學(xué)生從不同的角度分析問(wèn)題，探究數量間的相互關(guān)系，并能從不 同的解法中找出最簡(jiǎn)捷的方法，提高學(xué)生初步的邏輯思維能力，從而培養學(xué)生思維的廣闊性和靈活性。
三、運用多余型開(kāi)放題，培養學(xué)生思維品質(zhì)的批判性
多余型開(kāi)放題，將題目中的有用條件和無(wú)用條件混在一起，產(chǎn)生干擾因素，這就需要在解題時(shí)，認真分析 條件與問(wèn)題的關(guān)系，充分利用有用條件，舍棄無(wú)用條件，學(xué)會(huì )排除干擾因素，提高學(xué)生的鑒別能力，從而培養 學(xué)生思維的批判性。
如：一根繩子長(cháng)25米，第一次用去8米，第二次用去12米， 這根繩子比原來(lái)短了多少米？
由于受封閉式解題習慣的影響，學(xué)生往往會(huì )產(chǎn)生一種凡是題中出現的條件都要用上的思維定勢，不對題目 進(jìn)行認真分析，錯誤地列式為：25－8－12或25－（8＋12）。
做題時(shí)引導學(xué)生畫(huà)圖分析，使學(xué)生明白：要求這根繩子比原來(lái)短了多少米，實(shí)際上就是求兩次一共用去多 少米，這里25米是與解決問(wèn)題無(wú)關(guān)的條件，正確的列式是：8＋12。
通過(guò)引導分析這類(lèi)題，可以防止學(xué)生濫用題中的條件，有利于培養學(xué)生思維的批判性，提高學(xué)生明辨是非 、去偽存真的鑒別能力。
四、運用隱藏型開(kāi)放題，培養學(xué)生思維的縝密性
隱藏型開(kāi)放題，是解題所需的某些條件隱藏在題目的背后，如不注意容易遺漏。在解題時(shí)既要考慮問(wèn)題及 明確的條件，又要考慮與問(wèn)題有關(guān)的隱藏著(zhù)的條件。這樣有利于培養學(xué)生認真細致的審題習慣和思維的縝密性 。
如：做一個(gè)長(cháng)8分米、寬5分米的面袋，至少需要白布多少平方米？
解答此題時(shí)，學(xué)生往往忽視了面袋有“兩層”這個(gè)隱藏的條件，錯誤地列式為：8×5，正確列式應為：8× 5×2。
解此類(lèi)題時(shí)要引導學(xué)生認真分析題意，找出題中的隱藏條件，使學(xué)生養成認真審題的良好習慣，培養學(xué)生 思維的縝密性。
五、運用缺少型開(kāi)放題，培養學(xué)生思維的靈活性
缺少型開(kāi)放題，按常規解法所給條件似乎不足，但如果換個(gè)角度去思考，便可得到解決。
如：在一個(gè)面積為12平方厘米的正方形內剪一個(gè)最大的圓，所剪圓的面積是多少平方厘米？
按常規的思考方法：要求圓的面積，需先求出圓的半徑，根據題意，圓的半徑就是正方形邊長(cháng)的一半，但 根據題中所給條件，用小學(xué)的數學(xué)知識無(wú)法求出。換個(gè)角度來(lái)考慮：可以設所剪圓的半徑為r， 那么正方形的 邊長(cháng)為2r， 正方形的面積為（2r）[2]＝4r[2]＝12，r[2]＝3，所以圓的面積是3.14×3＝9.42（平方厘米）。
還可以這樣想：把原正方形平均分成4個(gè)小正方形， 每個(gè)小正方形的邊長(cháng)就是所剪圓的半徑，設圓的半徑 為r， 那么每個(gè)小正方形的面積為r[2]，原正方形的面積為4r[2]，r[2]＝12÷4，所剪圓的面積是3.14×（12 ÷4）＝9.42（平方厘米）。
通過(guò)此類(lèi)題的練習，有利于培養學(xué)生思維的靈活性，提高靈活解題的能力。
解答開(kāi)放型習題，由于沒(méi)有現成的解題模式，解題時(shí)往往需要從多個(gè)不同角度進(jìn)行思考和深索，且有些問(wèn) 題的答案是不確定的，因而能激發(fā)學(xué)生豐富的想象力和強烈的好奇心，提高學(xué)生的學(xué)習興趣，調動(dòng)學(xué)生主動(dòng)參 與的積極性。
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